Первый замечательный предел - это предел функции sin(x) / x в точке x = 0. Доказательство существования и вычисление значения этого предела нужно для нахождения производных тригонометрических функций. Утверждается, что предел равен единице (это действительно так если аргумент задан в радианах, при использовании других единиц значение предела будет другим). Обычно он рассматривается в начале курса математического анализа и для его вычисления используется сравнение площади сектора круга и площадей двух треугольников - вписанного в сектор и его дополнения до прямоугольного треугольника. Площади треугольников равны половинам синуса и тангенса угла сектора x. Со ссылкой на школьный курс геометрии утверждается,что площадь сектора круга единичного радиуса равна половине величины угла:

И в этом есть проблема, поскольку в формулу для площади сектора входит площадь круга, вычисление которой сводится к вычислению предела последовательности площадей вписанных в окружность единичного радиуса правильных 2ⁿ-угольников:

И это частный случай sin(x) / x, углы измеряются в долях развернутого угла.

Отложим вопрос о независимости результата от способа заполнения круга многоугольниками (можно, например, начинать не с квадрата, а с треугольника, но есть множество других способов) и попробуем не использовать знание предела. Пусть площадь круга единичного радиуса равна Sc и величина развернутого угла равна P. Тогда площадь сектора равна

и существование предела доказывается точно также, а сам предел зависит от неизвестной величины площади и произвольно выбираемой величины развернутого угла:

Если выбрать P численно равной Sc, предел будет равен единице. И кстати, соотношение площадей вписанного треугольника и сектора

позволяет легко доказать непрерывность синуса в точке x = 0. Так обычно и делают, но неравенство записывают в виде

Не я первый это заметил, частности, в статье И.И.Астаховой и В.А.Иванова "Парадоксы первого замечательного предела", опубликованной в журнале "Математическое образование" (#3(63) июль-сентябрь 2012 г.) на это указано. В статье перечислены три варианта решения проблемы посредством определения функций синус и косинус как:

• сумм степенных рядов (т.е. рядов Тейлора)
• решения дифференциального уравнения второго порядка (уравнения малых колебаний маятника)
• функций обладающих свойствами, эквивалентными формулам для сумм углов и суммы квадратов значений

В статье также показано, что предел отношения длины дуги окружности к соотверствующей хорде (вместо отношения площадей) при умеьшении угла стремится к единице. Длина сектора вычисляется интегрированием, сам интеграл содержит функцию arcsin(x), но это не проблема, поскольку предел вычисляется по правилу Лопиталя (как отношение производных). Вычисление требует знания интегрального исчисления и его приложения к определению длины кривой.

Можно проделать аналогичное вычисление отношения площадей сектора и вписанного треугольника. Это даже проще, поскольку не нужно ничего знать о вычислении длин кривых.

Пределы отношений длины дуги к хорде и площади сектора к площади вписанного треугольника эквивалентны первому замечательному пределу.

Была также более важная статья Ю.И.Любича "Два замечательных предела", опубликованная в журнале "Математическое просвещение" (М.: МЦНМО, 2000. — Вып. 4). В ней приведено корректное доказательство, которое я понял лишь после того, как этим у меня возникло следующее соображение. Из

• существования предела последовательности {sn} площадей вписанных правильных 2ⁿ-угольников и
• строгой монотонности (убывания) функции sin(x) / x при малых значениях аргумента

следует существование предела функции sin(x) / x в точке x = 0 и равенство этого предела пределу последовательности {sn}. Монотонность sin(x) / x надо доказать и это самая сложная часть дела, но пока считаем что она сделана.

Всюду ниже полагается, что угол измеряется в долях развернутого угла, не в радианах.

Обозначим предел последовательности символом π (это ведь и есть число Пи).

При любом x > 0, значение sin(x) / x строго меньше π. Если бы это было не так, существовали бы элементы sn, превосходящие π. Это следует из монотонности - если в точке x1 значение функции больше или равно π можно выбрать столь большой номер n1, что

Если предположить, что предел функции не существует или отличен от π, то существует такое число m > 0 и сколь угодно малые числа x, что

Выберем столь большой номер n2, что

В силу сходимости последовательности к π это возможно. Выберем такое число

Это возможно в силу предположения. Но в силу монотонности функции

Т.е. предположение неверно и функция имеет предел равный π.

Все это хорошо, но нужно доказать монотонности функции sin(x) / x. Для аргументов вида 1 / 2n монотонность есть, прямым вычислением можно доказать, что она есть для аргументов вида k / 2n. Для этого также прямым вычислением потребуется доказаль, что tg(k / 2n) ≥ k tg(1 / 2n).

Предположение о немонотонности функции приводит к противоречию. Допустим, что существуют такие точки 0 < x1 < x2, что в них

Выберем столь хорошие приближения чисел x1 и x2 двоичными дробями x1 < k1 / 2n < k2 / 2n < x2, что значения функции в них отличаются от значений в самих точках x1 и x2 менее, чем на m / 2. Но тогда окажется, что

и это противоречит монотонности функции для аргументов вида k / 2n.

Равенство sin(x1) / x1 = sin(x2) / x2 тоже невозможно. Если его предположить, то выбрав две точки x1 < k1 / 2n < k2 / 2n < x2 приходим к случаю неравенства, т.к. в этих выбранных точках равенства значений функции нет.

Если sin(k1 / 2n) / (k1 / 2n) ≤ sin(x1) / x1, то sin(k2 / 2n) / (k2 / 2n) < sin(x2) / x2, и вместо точки x1 нужно взять k2 / 2n.

Иначе, если sin(k1 / 2n) / (k1 / 2n) > sin(x1) / x1, то вместо точки x2 нужно взять k1 / 2n.

В статье Любича для доказательства монотонности используется вогнутость (выпуклость вверх) функции sin(x) и нулевое значение в нуле. Для доказательства самой вогнутости используется формула суммы синусов двух углов и непрервыность синуса. Это короче, но нужно знать о выпуклости-вогнутости.